MEB - AULA 3

AULA 03 – NÚMEROS E OPERAÇÕES

Geral.

·        Conhecer as estruturas aditivas e multiplicativas e seus fundamentos teóricos.

Específicos.

·         Descrever as situações-problema que estão associadas com as estruturas aditivas

·         Descrever as situações-problema que estão associadas com as estruturas multiplicativas.

Assuntos da aula:

PREZADO ESTUDANTE!

Nesta aula, vamos refletir sobre um tema muito importante na formação do professor de matemática, os números e suas operações estudado no ensino fundamental nas redes de ensino pública ou particular. Durante esse texto você vai reconhecer idéias subjacentes a contextos de situações da prática social que se associam com uma determinada estrutura matemática. Vai perceber também que o professor de matemática deve evidenciar no trabalho com os  números e suas operações algumas categorias (classificação) sobre tipos de problemas e seus aportes teóricos.

Você já percebeu na leitura do título, dos objetivos e dos assuntos desta aula a ocorrência dos termos estruturas aditivas e estruturas

Adição, subtração, multiplicação e divisão são termos que não soam como novidade, pois, são velhos conhecidos.

multiplicativas, e nesse sentido perguntamos:

·         Que relação existe entre as operações fundamentais e as estruturas aditivas e estruturas multiplicativas?

·         Alguma teoria fundamenta as estruturas aditivas e as estruturas multiplicativas?

Nesta aula faremos considerações sobre as estruturas aditivas e multiplicativas apresentando-as a partir de três tópicos gerais:

Desejamos a você um excelente trabalho!

1.    OS PCN E AS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

Quando escutamos histórias sobre o ensino fundamental, destaca-se aquela em que um aluno ao ler o enunciado (texto matemático) de uma situação-problema para resolvê-la, tem que escolher uma operação matemática e pergunta ao professor: É pra somar? É pra subtrair? É pra multiplicar? É pra dividir?

Porquê as perguntas anteriores ainda são tão freqüentes?

Quais são as preocupações que deve ter o professor de matemática ao planejar o estudo das operações fundamentais nos anos finais do ensino fundamental?

Ao longo de todo o ensino fundamental, os professores constatam que uma das maiores dificuldades dos alunos está em relacionar a situação-problema com a operação que permite obter a resposta (PCN, 1998, página 95).

Para responder as questões anteriores destacamos duas orientações didáticas dos PCN (1998) para o estudo dos números e as operações:

SAIBA MAIS

O SND é uma das maiores criações do homem e a história da matemática revela que sua origem é indo- arábica. O SND dá suporte ao estudo das operações fundamentais     da

matemática. Você lembra quais são as propriedades do SND?

As orientações anteriores mostram um pouco da realidade na qual o professor vai se defrontar. Buscamos apoio nos PCN (1998) destacando que o professor deve: Diagnosticar os conhecimentos prévios dos alunos sobre as operações fundamentais; Explorar atividades que abordam ações que dão significado a uma operação matemática; Representar a resolução de um problema através de um algoritmo adequado; Observar se a estratégia de resolução escolhida pelo aluno a um problema é adequada.

Refletindo sobre as orientações anteriores, recorremos novamente aos PCN (1998), que apresenta uma seleção e organização dos conteúdos de matemática para os anos finais do ensino fundamental. Assim, os conteúdos se organizam em quatro blocos: Números e Operações; Grandezas e Medidas; Espaço e Forma e Tratamento da Informação.

No documento citado, os termos adição, subtração, multiplicação e divisão, são tratados como conceitos e indicam as operações fundamentais da matemática.

2.    O FOCO DO TRABALHO EM MATEMÁTICA: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.

Nesse tópico são destacados cinco princípios dos PCN (1998) que tratam das situações-problema e da resolução de problemas em matemática como suporte ao estudo das operações fundamentais.

P1. A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias (*) e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, 1998, p.40)

Acesse o site do MEC, no             endereço www.mec.gov.br e faça o download dos PCN (1998) de matemática para as séries finais do ensino fundamental. Leia nas páginas 71 e

72      dos     PCN,      as orientações sobre os CONCEITOS                               E PROCEDIMENTOS para o estudo dos Números e Operações nas séries finais do ensino  fundamental. Leia esse importante documento com afinco durante seu curso de graduação e após a conclusão do mesmo.

P2. O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada”; (PCN, 1998, p.41).

P3. Aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática; (PCN, 1998, p.41).

P4. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular”; (PCN, 1998, p.41).

P5. A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (PCN, 1998, p.41).

Para aprofundar o tema Resolução de problemas, sugerimos a leitura do livro de Luis Roberto Dante, Didática da Resolução de Problemas da Editora Ática. O texto de Dante se apóia nas concepções do livro A arte de resolver problemas, de George Polya.

O quarto princípio apontado pelos PCN de matemática (1998) revela uma forte relação com a Teoria dos           Campos Conceituais de Gérard Vergnaud que será tratada mais adiante nesta aula.

Para ilustrar a orientação de Polya, o problema a seguir é resolvido a partir das 4 fases sugeridas.

Uma pessoa tinha de percorrer uma estrada de 78 km. andou 23 km no primeiro dia, 30 km no segundo dia e 12 km no terceiro dia.

Quantos quilômetros de estrada essa pessoa tem ainda pela frente?

Fase 1. A compreensão do problema requer o conhecimento sobre as operações fundamentais da matemática, identificando que a adição e a subtração são as operações em jogo. Em termos do contexto social a situação envolve distâncias percorridas numa viagem que deve ser feita por uma pessoa numa estrada. O conhecimento sobre grandezas é fundamental. As noções sobre medida de comprimento e medida de tempo são requeridas também. É necessário identificar que existe uma relação entre cada dia de viagem e a distância percorrida em cada um desses dias.

Fase 2. O plano de resolução remete ao uso da adição das distâncias informadas no texto do problema. Depois deve ser usada a subtração para encontrar a resposta a pergunta feita no final do texto do problema. Os algoritmos da adição e da subtração devem ser utilizados.

Fase 3. A execução do plano revela estratégias de resolução possíveis. A pessoa andou 23 km no primeiro dia, mais 30 km no segundo, mais ainda 12 km no terceiro dia. Logo, para se ver quanto ela andou no total, deve-se adicionar 23 com 30 e depois com 12. Para fazer essa adição identifica-se primeiro os algarismos das unidades: logo 3 + 0 + 2 = 5. Em seguida os algarismos das dezenas somando-os 2 + 3 + 1 = 6. Usando o algoritmo vertical encontramos o resultado da adição 65 que é o total de quilômetros percorridos pela pessoa até o terceiro dia.

Considerando que a pessoa tem que percorrer 78 km, para saber quanto falta, é necessário subtrair 78 − 65 (setenta e oito quilômetros menos sessenta e cinco quilômetros).

Fazendo esta operação identificamos os algarismos das unidades 5 e 8 e os algarismos das dezenas 6 e 7 subtraindo 8 − 5 = 3 e 7 − 6 = 1.

Usando o algoritmo vertical para a subtração encontramos o resultado 13 km que resta para percorrer.

Fase 4. Fazendo um retrospecto da resolução é possível interpretar outras coisas sobre o problema. As operações usadas foram adição e a subtração. Outra maneira de resolver o problema requer o pensamento subtrativo a partir da distância total a ser percorrida pela pessoa em função da soma das distancias percorridas em cada dia. Podemos representar essa situação assim: 78 − (23 + 30 + 12). Perguntamos: o que significa os parênteses? E se não fossem colocados os parênteses? Que resposta resultaria da expressão 78 − 23 + 30 + 12 ?

Outra resolução possível é considerar a distancia total a ser percorrida (78 km) e subtrair de cada distancia percorrida em cada dia.

O procedimento adequado é 78 − 23 = 55, depois subtrair 55 − 30 =

25, em seguida subtrair 25 − 12 = 13.

Os procedimentos destacados resultam como resposta 13 km.           

O1. Desenvolver habilidades de análise de problema. Para melhorar a habilidade dos alunos em analisar um problema pouco conhecido, identificar a informação desejada e necessária, ignorar informação dispensável e expressar claramente o objetivo ou meta do problema ou tarefa (Van de Walle, 2009, p. 77). O2. Desenvolver e selecionar estratégias. Para ajudar os estudantes a construir uma coleção de estratégias de resolução de problemas úteis em uma variedade de contextos e selecionar e usar essas estratégias adequadamente (Van de Walle, 2009, p. 77). O3. Justificar as soluções. Para melhorar a habilidade dos alunos

Associando princípios e métodos da resolução de problemas e seus processos de aprendizagem, Van de Walle (2009), orienta que o professor deve perseguir com os alunos os seguintes objetivos (O):

Observe que os objetivos listados por Van de Walle se vinculam com as fases apresentadas por Dante que por sua vez se apóia em Polya.

Com base nas fases destacadas por Dante (1989) apoiado em Polya (1978), nas orientações dos PCN (1998) e nos objetivos de Van de Walle (2009) para a resolução de problemas passamos a abordar as estruturas aditivas e multiplicativas, com o suporte da Teoria dos Campos Conceituais.

3.    SOBRE A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS (TCC).

A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) é um fundamento que explica as estruturas aditiva e multiplicativa na abordagem das operações fundamentais da matemática. A seguir são apresentadas três considerações feitas por Franchi (1999, p. 57) sobre essa teoria:

Para Franchi (1999), o autor da TCC (GÉRARD VERGNAUD) considera que um conceito é apreendido pelo aluno de forma consistente e significativa quando é explorado pelo professor de matemática a partir de três conjuntos:

S: Conjunto das situações em que o sentido se constitui (referentes).

SAIBA          MAIS

Através de um site de busca da Internet acesse o endereço www.novaescola.org.br procure e leia a entrevista com o professor Gérard Vergnaud intitulada "Todos       perdem quando a  pesquisa não é colocada em prática". Conheça o professor através da foto que aparece a seguir.

Imagem extraída do site da Revista Nova Escola.

L: Conjunto das representações simbólicas (os significantes). I: Conjunto dos invariantes operatórios (os conceitos em ação e os teoremas em ação) que intervêm nos esquemas de tratamento dessas situações (o significado).

Destaca-se na TCC, a noção de esquema, como a “forma invariante como as atividades são estruturadas ou organizadas diante de uma classe de situações voltadas para a aprendizagem de um conceito”. (Pais, 2001, p.53).

Consideremos um problema de subtração para ilustrar relações possíveis entre situações, invariantes operatórios e significantes.

SAIBA          MAIS.

Aprofunde          seus conhecimentos sobre a  TCC,    lendo    o capítulo Considerações sobre a Teoria dos campos conceituais     escrito por                    Ana                  Franchi (1999,  p.155  a 195).

Ver nas referências dessa aula.

Em uma sala de aula estão presentes 38 alunos. Sabendo-se que 17 são meninas, quantos serão os meninos? Este problema descreve uma situação em que se reúnem ou se contam juntos os objetos discretos de duas coleções distintas e sem elementos comuns. O teorema-em-ato dessa relação é expresso por cardinal (AUB) = cardinal (A) + cardinal (B). A estratégia de resolução para a situação necessita do algoritmo da subtração, onde 38 – 17 = 21.

Agora que você conhece a definição de conceito segundo a TCC, refletiremos sobre as estruturas aditivas e as estruturas multiplicativas abordando os números inteiros e racionais como conteúdos do currículo escolar do ensino fundamental (6º ao 9º anos).

4.      AS ESTRUTURAS ADITIVA E MULTIPLICATIVA. Classes de situações-problema que dão significado as operações adição, subtração, multiplicação e divisão.

Segundo os PCN (1998) é no 6º ano que os conceitos de adição, subtração, multiplicação e divisão, são revistos e re-estudados no conjunto dos números naturais e racionais positivos. No 7º ano, o estudo das operações é feito com base nos números inteiros que são uma ampliação do conjunto dos números naturais. Nesses estudos, os algoritmos são recursos representacionais usados para resolver problemas.

SAIBA MAIS

Algoritmo é uma regra ou um conjunto finito de regras que permite, diante de todo problema ou de uma classe de problemas, de conduzir à sua solução, se dele existe uma, ou, em caso de insucesso, de mostrar que não há solução. Vergnaud           (2009, p.309).

Nesse sentido, Franchi (1999) com apoio na TCC, concebe as estruturas aditivas e multiplicativas como campos conceituais. Para Pessoa (2002), no campo conceitual das estruturas aditivas se estuda os conceitos de adição e subtração ou a combinação entre elas e no campo conceitual das estruturas multiplicativas são estudados os conceitos de multiplicação e divisão.

Nos livros didáticos de matemática, em geral, os autores tratam as operações fundamentais associadas a ações. Bittar e Freitas (2005), reforçam o que diz Vergnaud (1993) e os PCN (1998) e relacionam as ações para a adição: juntar e acrescentar; para a subtração: tirar, comparar e completar; para a multiplicação: adição repetida, combinatória e proporcionalidade e para a divisão: repartir igualmente e determinar quanto cabe.

Para representar um problema que envolve uma adição ou uma subtração selecionamos de Franchi (1999) o diagrama abaixo por inspiração em Vergnaud (1983),

Distinguem-se três elementos formadores (relação ternária), medida inicial (retângulo à esquerda), medida final (retângulo à direita) e transformação entre as medidas (o círculo e a seta). Os retângulos representam medidas (um número), o círculo representa uma relação (transformação positiva ou negativa) e a incógnita (?) refere-se à medida inicial, à transformação ou à medida final.

4.1      Estruturas Aditivas (Categorias e algoritmo).

Segundo os PCN (1998), os significados da adição e da subtração  são estudados desde os anos iniciais do ensino fundamental e em função da variedade e complexidade dos conceitos integradores desse tema, os alunos levam tempo para construí-los e consolidados. Nesse sentido, o professor deve adotar um trabalho sistemático com esses conteúdos ao longo dos terceiro e quarto ciclos, concomitante ao trabalho de sistematização da aprendizagem dos números naturais e da construção dos significados dos números inteiros, racionais e irracionais (PCN, 1998, p.107).

Segundo Vergnaud (2009), as relações aditivas são categorizadas (C) em seis tipos (ver abaixo) e destas, novos tipos de problemas de adição e subtração são formulados.

Faça uma pesquisa num livro didático de matemática de 6º ano do Ensino Fundamental. Nos capítulos que tratam das                operações adição e subtração identifique quantos e quais problemas se vinculam as ações de                         juntar,

acrescentar, tirar, comparar     e completar.

Conhecer o sistema de numeração decimal e suas propriedades ajuda o aluno a compreender a adição. O quadro de valor e lugar ajuda a

compreender               o algoritmo da adição de dois ou mais números.

C2. Uma transformação opera sobre uma medida para resultar em outra medida. C3. Uma relação liga duas medidas. C4. Duas transformações se compõem para resultar em uma transformação. C5. Uma transformação opera sobre um estado relativo (uma relação) para resultar em um estado relativo. C6. Dois estados relativos (relações) se compõem para resultar em um estado relativo.

Para o problema, “Em um ônibus havia muitos passageiros. Na parada da praça central desceram 8 e ficaram 21. Quantos passageiros havia no ônibus antes da parada da praça central?”, o diagrama abaixo mostra as relações entre as medidas do problema anterior.

Interpretando os termos do esquema acima temos: a medida no estado inicial é desconhecida (?), a medida no estado final (21) é conhecida e a relação entre os dois estados (transformação) é negativa (− 8 é nessa situação um número inteiro).

O raciocínio inverso aplicado (ver o esquema anterior) mostra que a expressão 21+8 = 29 (como estratégia de resolução) indica que havia 29 passageiros no ônibus antes da parada. O problema se insere na categoria 2. Explique esse fato.

Exercite a análise dos elementos em outras situações-problema com base na situação anterior.

Em um ônibus havia 29 passageiros. Se na parada da praça desceram 8 passageiros quantos ficaram no ônibus? Resposta: 21.

MI = 29; R = 8; MF = ?

Em um ônibus havia 29 passageiros. Após descerem alguns passageiros na para da praça ficaram 21 passageiros no ônibus. Quantos passageiros desceram? Resposta: 8.

MI = 29; R = ?; MF = 21.

Em um ônibus havia 29 passageiros. Na parada da praça subiram 8

No estudo da adição o professor deve estar atento               ao

questionamento:  O que significa “o vai um?”

-      Vai    uma  dezena?

-     Vai   uma   centena?

-  Vai um milhar?

SAIBA MAIS

Nas referências desta aula você encontra o endereço para acessar esse artigo que trata de um estudo feito por Tânia M. M. Campos, Sandra M. P. Magina, Irene M. Cazorla e Eurivalda Ribeiro, sobre as estruturas aditivas envolvendo alunos de escolas públicas de São Paulo e Bahia.

passageiros. Quantos passageiros ficaram no ônibus após a parada da praça? Resposta: 37.

MI = 29; R = +8; MF = ?

Em um ônibus havia 29 passageiros. Após a parada da praça subiram alguns passageiros e ficaram 37 passageiros no ônibus? Quantos passageiros subiram no ônibus? Resposta: 8.

MI = 29; R = ?; MF = 37.

Em um ônibus havia muitos passageiros. Após a parada da praça subiram 8 passageiros e ficaram 37 passageiros no ônibus? Quantos passageiros existiam no ônibus antes da parada da  praça?  Resposta: 21.

MI = ?; R = + 8; MF = 37.

Ilustrando a ação de juntar: O acervo da biblioteca da escola possuía 1379 livros. Foram comprados 763 livros novos. Quantos livros fazem parte agora do acervo da biblioteca?

Para ilustrar a ação de acrescentar analise a situação-problema: Paula tem 9 reais e ganhou outros 3 reais. Com quantos reais ela ficou?. É previsto que o aluno identifique no texto do problema a operação adição. Para explicar o resultado anterior o aluno deve recorrer ao algoritmo (ver figura abaixo) usado comumente nas aulas de matemática. O professor deve usar linhas ortogonais e paralelas para indicar a posição dos algarismos nas ordens e classes do SND.

Considerando que nove (9) unidades mais uma (1) unidade forma uma dezena (10), justifica-se o vai um, que significa “vai uma dezena” para a ordem das dezenas, e ficam duas unidades na ordem das unidades simples. A resposta é: Paula ficou com 12 reais.

4.1.1.        Estruturas Aditivas (Tipos de situações-problema).

Para os PCN (1998), os tipos mais comuns são as seguintes: combinar estados para obter um outro, transformação, comparação e

Usando o esquema mostrado no início deste          tópico, identifique a medida no estado inicial, a medida no estado final e a relação entre as medidas para resolver as situações-problema do        tipo        aditivo:

A) Carlos está pesando 87 kg e Paulo

76 kg. Qual é a diferença de peso entre eles?.       B) Carlos pesa 54 kg e Paulo pesa 7 kg a menos que Carlos. Qual é o peso de Paulo? (PCN, 1998. p. 108).

composição de transformações.

Combinar estados para obter um outro. Selecionamos dos (PCN, 1998, p. 108), uma situação-problema que ilustra o uso do número racional na forma de fração. Os resultados de uma pesquisa sobre os esportes preferidos pelos alunos de uma escola indicaram que 2/5 preferem futebol, 1/4 prefere voleibol, 1/3 prefere basquete e os demais não optaram por nenhuma dessas modalidades. Qual é a fração do total de alunos que indica a opção por esses três esportes?

Para explorar a ação de separar. Qual é a fração do total de alunos que indica a não-opção por essas modalidades?

Para explorar a ação de retirar. Qual é a fração do total de alunos que indica a não opção por futebol? (exemplo com número racional). Usando números naturais. Em uma sala de aula estão presentes 38 alunos. Sabendo-se que 17 são meninas, quantos serão os meninos? O algoritmo comumente usado para resolver uma subtração é o que aparece abaixo com o suporte da propriedade do valor posicional do SND. As ordens, unidade, dezena e centena são mostradas no algoritmo.

Usando o algoritmo tradicional e também o esquema que apresenta os estados inicial e final e a relação entre os estados, resolva as situações-problema selecionadas dos (PCN, 1998. p. 108) a seguir.

Situação que envolve a Transformação (alteração de um estado inicial pode ser positiva ou negativa). 1. Há um ano atrás Carlos media 1,57

m. Neste último ano ele cresceu 0,12 m. Qual é a altura de Carlos hoje? 2. Hoje Carlos mede 1,83 m de altura. Neste último ano ele cresceu 7 cm. Qual era sua altura há um ano? e 3. Há um ano a altura de Carlos era de 1,67 m e hoje é de 1,76 m. Quanto ele cresceu neste último ano?

Situação que envolve a Comparação - Carlos pesa 65,5 kg e Paulo 7,5 kg a mais que Carlos. Qual é o peso de Paulo?

Situação que aborda a Composição de transformações com variação de medidas positivas e negativas que levam à necessidade do uso dos números inteiros negativos. 1 - No início de um jogo Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10

Pesquise               as

propriedades         da subtração.

pontos e, em seguida, perdeu 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo? 2 - Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem com relação aos pontos de Pedro. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem em relação a Pedro. O que aconteceu durante o jogo? 3 - No segundo tempo de um jogo Paulo perdeu 7 pontos. No final ele estava com uma desvantagem de 9 pontos. O que aconteceu no primeiro tempo do jogo? 4 - No primeiro tempo de um jogo Carlos perdeu 7 pontos e no segundo ele perdeu 9. Como estavam seus pontos no final do jogo? (PCN, 1998. p. 109).

Em termos de propriedades operatórias comumente tratadas nas situações-problema envolvendo a adição, Silva, Lourenço e Côgo (2004), consideram as seguintes: 1) Comutatividade: dados dois números quaisquer a e b teremos que: a+b = b+a. 2) Associatividade: dados três números quaisquer, a, b e c, teremos que: a + (b+c) = (a+b) + c. 3) Elemento neutro: existe o número 0 (zero) de forma que para todo número a tem-se: a+0 = 0+a = a.

4.2      Estruturas Multiplicativas (Ações e Classes de situações).

Com base na teoria dos campos conceituais, as estruturas multiplicativas abordam as operações multiplicação e a divisão.

Para representar a multiplicação é comum usar a letra “xis” (x) ou o “ponto” (.). Na multiplicação de 2 por 3, os registros 2x3, 2.3, 3x2, 3.2 representam com fidelidade esse produto e o resultado é 6.

A representação numérica 2x3=6 (ou 2.3=6) é chamada de algoritmo horizontal da multiplicação. A representação numérica ao lado é chamada de algoritmo vertical da multiplicação. Da forma como foi apresentada a multiplicação de 2 por 3, considera-se que as representações anteriores apresentam um contexto estritamente matemático.

Uma concepção sobre a multiplicação comumente observada nos alunos é aquela que afirma que o resultado da multiplicação entre dois números é sempre maior que esses números. No exemplo anterior (2x3=6) e 6 é maior que 2 e 3. Excepcionalmente, se um dos números é do tipo racional e menor que 1 o resultado é menor que 1 e não obedece a essa concepção. Por exemplo, a multiplicação 2 x 0,5 é igual a 1. Então 1 é menor que o número 2.

Na situação, “Calcular o preço de 5 carrinhos de plástico (objeto) sabendo-se que o preço de um carro é R$6,00 (custo)”, a resolução pode ser feita usando o esquema abaixo baseado em Franchi (1999) que mostra os elementos do problema envolvendo a operação

Quais situações de nosso cotidiano podem ampliar e enriquecer o uso          das

representações horizontal            e             vertical para a multiplicação?

multiplicação e os estados inicial ou final

As relações entre objetos e custos revelam: Se 1 carro custa 6 então 5 carros custam 30 e o contexto da situação envolve o sistema monetário brasileiro. A leitura do esquema mostra que as medidas M1 e M2 são conhecidas e a resposta é 5 carrinhos custam R$30,00.

No esquema acima percebe-se que a relação entre as medidas é quaternária. Usando o esquema com setas resolva as duas situações a seguir. Situação 1. Mariana comprou uma camisa de manga curta por R$ 25,00 e para comprar mais quatro camisas do mesmo tipo quanto deverá pagar?. As representações 25x4; 4x25; 25.4 ou 4.25, traduzem a resolução e o valor R$100,00 é a resposta. Situação 2. Se o preço de uma camisa fosse R$25,65, quanto Mariana pagaria por quatro camisas do mesmo tipo?, Para encontrar o valor a pagar o aluno adota as representações 4x25,65; 4.25,65; 25,65x4 ou 25,65.4, e a resposta é R$103,00.

Sobre as situações 1 e 2, o que se pode esperar do aluno em termos de procedimento de resolução: O aluno recorra a adições repetidas? Usa o algoritmo vertical ou o algoritmo horizontal que representa a escrita dos números com base nas propriedades do Sistema de Numeração Decimal (SND)? Quais conceitos o aluno deve usar para resolver a situação 1? Quais conceitos o aluno deve usar para resolver a situação 2?

Considere agora a multiplicação de 3 por 2. Como representar geometricamente a multiplicação 3x2?

A disposição retangular é um tipo de representação usada para visualizar a multiplicação e deve ser considerada pelo professor como uma estratégia de cálculo. Fotos de bancas enfileiradas em sala de aula e uma malha quadriculada desenhada numa folha de papel ajudam a resolver um problema que envolve a multiplicação.

Recorrendo a retângulos formados por quadrados de uma malha quadriculada é possível destacar duas disposições. Na leitura, o primeiro número da multiplicação representa a quantidade de colunas (na vertical) e o segundo número a quantidade de linhas (na horizontal). A primeira disposição é apresentada na figura ao lado,

Duas disposições retangulares numa malha quadriculada.

2x3 ou 2.3

3x2 ou 3.2

Pesquise em livros de matemática do 6º ano a ocorrência de atividades que ilustram as idéias de disposição retangular                                        e

combinatória.

onde vemos duas (2) colunas e três (3) linhas de quadrados representando a multiplicação 2x3. Logo, 2x3 resulta em 6 e 2x3=6. A segunda disposição é apresentada com três (3) colunas de quadrados e duas (2) linhas de quadrados representando a multiplicação 3x2. Então, 3x2 resulta 6, logo 3x2=6. As representações anteriores permitem constatar que na igualdade 2x3=3x2=6 a propriedade comutativa é aplicada.

Para explorar o pensamento combinatório resolva a situação:

1. Marina tem quatro calças de cores diferentes e oito camisas também de cores diferentes. De quantas maneiras ela pode se vestir com uma calça e uma camisa sem repetir o mesmo par de peças de roupa? Nessa situação, a resposta é 4x8=32 e permite visualizar a multiplicação usando a árvore de possibilidades.

Resolva o problema a seguir: Lancei dois dados: um vermelho e um azul. Quantos resultados diferentes posso encontrar?

O pensamento combinatório também aparece em situações ligadas á divisão. Usando o esquema de setas resolva o problema abaixo.

No decorrer de uma festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todas elas dançaram com todos os rapazes, quantos eram os rapazes?

Para explorar o pensamento que aborda a proporcionalidade, resolva a situação a seguir usando o esquema de Vergnaud.

Renato comprou uma bermuda por R$35,00. Se comprar 6 bermudas do mesmo tipo quanto deve pagar?

As situações que envolvem a multiplicação. Segundo Vergnaud (2009), três classes de situações multiplicativas se distinguem, isomorfismo de medidas, caso de um único espaço de medidas e produto de medidas.

O isomorfismo de medidas. Relação quaternária. Duas quantidades são medidas de certo tipo e as duas outras medidas, de outro tipo. Exemplos: 1. Tenho 3 pacotes de iogurte. Há 4 iogurtes em cada pacote. Quantos iogurtes eu tenho? 2. Minha mãe quer comprar  tecido a R$24,80 o metro para fazer um vestido e um paletó. Ela necessita de 3,50 metros de tecido. Quanto ela deve gastar? 3. Paguei R$12,00 por 3 garrafas de vinho. Quanto custa cada garrafa?

Caso único de um espaço de medidas. São necessários 2 metros de tecido para fazer uma saia; são necessárias três vezes mais para fazer um conjunto. Quanto de tecido é necessário para fazer um

Em          termos         de propriedades operatórias                                                 da multiplicação, Silva, Lourenço   e             Côgo (2004),                      que

consideram:                1) Comutatividade: dados dois             números quaisquer  a e b tem- se: axb=bxa.                                                        2) Associatividade: dados três          números quaisquer, a, b e c, tem-se: ax(bxc)=(axb)xc.

3) Elemento neutro: existe o número 1 (um) de forma que para  todo número a tem-se: ax1=1xa=a.

conjunto?

O produto de medidas é uma classe de situação ternária, das quais uma é o produto das duas outras ao mesmo tempo. Exemplificando essa classe com duas situações envolvendo grandezas. Situação 1. Qual é a área em centímetros quadrados de um retângulo cujos lados medem 6 cm e 9 cm? Situação 2. Qual é o volume em centímetros cúbicos de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo de 5 cm² de área da base e 8 cm de altura? Nas situações 1 e 2 trabalha-se com grandezas que são produtos de outras grandezas. Na situação 1, a medida de área 54 cm² é o produto dos comprimentos dos segmentos 6 cm por 9 cm. Na situação 2, a medida de volume 40 cm³ é o produto da área de 5 cm² pelo comprimento 8 cm.

A associação entre a multiplicação e a divisão pode ser estabelecida por meio de situações, como: A área de uma figura retangular é de 54 cm². Se um dos lados mede 6 cm, quanto mede o outro lado? O volume de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo é de 40 cm³ a altura é 8 cm. Qual é a é a área da base?

Algoritmo usual da multiplicação. O algoritmo comumente utilizado na escola é mostrado na figura a seguir. Os termos são denominados de multiplicando, multiplicador, produtos parciais e produto final. Observando o algoritmo abaixo descubra o valor das letras m, n, o e

p.   Explique os procedimentos utilizados na resolução.

Sobre as ações associadas à divisão. As ações comumente tratadas nas situações-problema envolvendo a divisão são partição e medida. Para representar a divisão o algoritmo tradicional da divisão é mostrado a seguir. Novamente você percebe as ordens e classes do Sistema de Numeração Decimal.

Identifique qual o tipo de raciocínio vinculado à operação divisão nas situações-problema seguintes que Vergnaud (2009), exemplifica como

Selecione um livro didático de matemática do 6º ano. Identifique o capítulo que é destinado ao  estudo da operação divisão. Verifique na relação de problemas resolvidos e propostos qual a ocorrência das idéias da divisão.

Elabore uma situação- problema que seja resolvida através dos números     que compõem o algoritmo da divisão à esquerda.

estruturas multiplicativas. Produto discreto-discreto. Um comerciante quer colocar à disposição dos clientes 15 variedades de sorvetes cobertos de chocolate. Ele dispõe de três variedades de chocolate. Quantas variedades de sorvetes ele deve ter? Produto contínuo- contínuo. Um retângulo tem uma superfície de 18,66 metros quadrados e uma largura de 3,23 metros. Qual é o seu comprimento? Produto contínuo-contínuo e noção de média. Uma piscina tem uma área de 265,4 metros e são necessários 633,3 metros cúbicos de água para enchê-la. Qual é a profundidade média da piscina?

1.    Considere os termos: juntar; acrescentar; retirar; a mais; subtrair; dividir; agrupar; multiplicar; vezes; múltiplo de; divisor de; somar; completar; reunir; dobro; dobrar; triplo; completar; reunir; grupos; a menos; triplo; adicionar; separar; crescer; ampliar; diminuir; soma; menor; maior; reduzir; aumentar; agrupamento; troco; razão; proporcionalidade. Associe cada termo a uma das operações fundamentais. Você lembra de outros termos que podem ser associados a cada uma das operações fundamentais?

Identifique a operação que está associada a cada um dos problemas seguintes e apresente a resposta.

2.  Renato é professor de matemática e planejou com seus alunos de 6º ano uma viagem técnica para uma cidade vizinha distante 78km de sua escola. A viagem será realizada em 4 etapas. A primeira etapa da viagem tem 23km, a segunda etapa tem 30 km e a terceira etapa tem 12 km. Quantos quilômetros têm a 4ª etapa da viagem?

3.  Em uma sala de aula estão presentes 38 alunos. Sabendo-se que 17 são meninas, quantos serão os meninos?

4.    Regina tinha 38 selos, ganhou mais alguns, ficando com 50 selos. Quantos selos ganhou?

5.     Cláudio coleciona selos. Atualmente, sua coleção tem 54 selos. Destes, ele deu 13 para seu amigo Marcos. Com quantos selos ficou sua coleção?

6.     Na secção de perfumaria de uma loja estavam anunciados os seguintes      preços  para      sabonetes:

-             sabonete de glicerina – 1 unidade: R$1,60.

-         sabonete de lavanda – caixa c/ 4unidades: R$7,60.

-  sabonete de algas – 1 unidade: R$2,30

6a. Maria comprou 6 sabonetes da mesma marca. Pagou por eles

Um método curioso e interessante             para multiplicar a ser apresentado                aos alunos utiliza os dedos das mãos. Pesquise esse método em livros que        abordam       a

História                       da

Matemática. O livro paradidático de Luiz Márcio Imenes, Os números na história da civilização da Editora                          Scipione também trata dessa curiosidade com a multipplicação. Leia como sugestão o de Carl Boyer.

Como curiosidade pesquise o método egípcio para a multiplicação.

Pesquise também o método russo de multiplicar, e a multiplicação árabe chamada de gelosia. Identifique qual desses métodos é mais parecido com o que usamos nas aulas de matemática.

R$9,60. Maria comprou sabonetes da marca                        

6b. Paulo gastou R$15,20 para comprar 8 sabonetes. Ele comprou sabonetes da marca                                                      .

7.     Uma fábrica de sabão em pedra embala os produtos em caixas com 4 dúzias. Para embalar 15600 pedras de sabão, quantas caixas serão usadas?

8.       Um veículo está à venda por R$45192,00. Seis pessoas resolveram comprar o veículo pagando cada uma o mesmo valor que as outras. Quanto cada pessoa deve pagar?

Nesta aula, foram apresentados aspectos gerais do bloco de conteúdos números e operações que devem ser considerados pelo professor de matemática no trato das operações adição, subtração, multiplicação e divisão e seus significados nos anos finais do ensino fundamental. Os fundamentos estudados não se esgotam nesse texto e devem ser ampliados com novas leituras individuais e em grupo. Agora, você sabe que o ensino e a aprendizagem das estruturas aditivas e multiplicativas deve estar associado com as operações fundamentais e olhar apenas para os algoritmos é coisa do passado. As diversas situações onde o algoritmo é usado devem priorizar seus futuros planejamentos de aulas sobre o tema.

Consolidar os problemas já estudados em anos anteriores e ampliar outros sobre as estruturas aditivas e multiplicativas deve ser o grande objetivo do professor ao iniciar o estudo das operações. Estimular os alunos a apresentar seus procedimentos de resolução de uma situação-problema favorece a análise e a comparação dos procedimentos no que refere a sua validade, economia e praticidade.

O professor deve selecionar situações-problema diversas e promover modificações intencionais sobre algumas informações (tipos de números e grandezas envolvidas) contidas num texto  matemático para que o aluno mobilize novos conhecimentos e os diferentes significados das operações. Conhecer os fundamentos teóricos das estruturas aditivas e multiplicativas e suas classes de situações- problema tem como objetivo diminuir as dificuldades dos alunos com as operações fundamentais da matemática.

REFERÊNCIAS

BRASIL, MEC/SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática, 5ª A 8ª séries, Brasília, 1998.

DANTE, LUIZ ROBERTO, Didática da Resolução de Problemas, Editora Ática, São Paulo, 1989.

FRANCHI, ANA, Considerações sobre a Teoria dos campos conceituais, in Machado, Silvia Dais Alcântara Machado (Org.), Educação Matemática: uma introdução, Educ, São Paulo, SP, 1999.

POLYA, G., A arte de resolver problemas, Rio de Janeiro, Editora Interciência, 1978.

PAIS, LUIS CARLOS, Didática da matemática, uma análise da influência francesa, Editora Autêntica, Belo Horizonte, MG, 2001.

SILVA, CIRCE MARY SILVA DA; LOURENÇO, SIMONE TORRES E

CÔGO, ANA MARIA. P O ensino-aprendizagem da matemática e a pedagogia do texto. Brasília. DF. Plano Editora. 2004.

VAN DE WALLE, JOHN.A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Tradução: Paulo Henrique Colonese. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

VERNAUD, GÉRARD, A criança, a matemática e a realidade: problemas de ensino de matemática na escola elementar. Curitiba, Editora da UFPR, 2009.

REFERÊNCIA DA INTERNET

CAMPOS, TÂNIA MARIA MENDONÇA, MAGINA, SANDRA MARIA PINTO, IRENE MAURICIO CAZORLA Y EURIVALDA RIBEIRO. As

estruturas aditivas nas séries iníciais do ensino fundamental: um estudo diagnóstico em contextos diferentes. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, versión impresa, issn 1665-2436.Relime, v.10, n.2, México, jul. 2007.       In http://www.scielo.org.mx/pdf/relime/v10n2/v10n2a3.pdf.

ATIVIDADE DA SEMANA III

Elaborar um Mapa Conceitual que trata de uma Operação Matemática Fundamental e poste nesse fórum para ser avaliado

 

Fonte: https://matematicabasica.net/adicao/