AULA 05 – ESPAÇO
E FORMA.
 |
Geral
·
Conhecer as orientações didáticas
para o ensino-aprendizagem de conteúdos do bloco Espaço e Forma.
Específicos.
·
Analisar situações-problema
envolvendo polígonos com o foco em triângulos.
·
Refletir sobre situações-problema
que abordam a geometria plana destacando a soma dos ângulos internos de uma
figura plana.
·
Analisar situações-problema que abordam o conceito de tridimensionalidade.
·
Descrever situações-problema com aplicação do
teorema de Pitágoras.
·
Analisar situações-problema envolvendo noções de trigonometria.
ASSUNTOS DA AULA. Os PCN e o bloco de conteúdos Espaço e
Forma. Triângulos e a soma dos ângulos internos. O Teorema de Pitágoras.
Tridimensão. Trigonometria no triângulo retângulo.
PREZADO
ESTUDANTE!
As exigências da sociedade em geral repercutem na
educação e o sentimento atual destaca a busca por um ensino de qualidade e com
significado. Nesse sentido, o trabalho do professor de matemática deve estar
apoiado em fundamentos teóricos consistentes e em situações-problema que
possibilitem ao aluno fazer conjecturas, criar estratégias e criar soluções
para os problemas
Em sua vida de estudante você teve
muitas experiências com a geometria? Elas foram muito freqüentes ou pouco
freqüentes? Tente lembrar e descreva algumas
dessas experiências.
de seu dia-a-dia.
Nesta aula, vamos debater acerca um tema importante na
formação do professor de matemática, a Geometria, destacada nos PCN (1998) como
um bloco de conteúdos denominado Espaço e Forma.
No bloco de conteúdos Espaço e Forma alguns conceitos
como polígono e triângulo, alguns teoremas, como exemplos, o da soma
dos ângulos internos de um triângulo qualquer e o de Pitágoras
para triângulos retângulos são
destacados por se constituírem como fundamentais na formação do pensamento
geométrico de um aluno dos anos finais do ensino fundamental das redes de
ensino pública ou particular.
Para aprofundar o debate acerca dos conceitos desta aula
apresentamos as perguntas a seguir:
-
Sendo questionado por um aluno do
6º ano, como você explicaria o significado do termo polígono?
-
Qual estratégia didática pode ser
usada em sala de aula para mostrar que a soma dos ângulos internos de um
triângulo qualquer é igual a um ângulo raso (180 graus)?
-
O teorema de Pitágoras tem relação com as grandezas
comprimento e área?
-
As razões trigonométricas
são estudadas a partir de um triângulo retângulo ou de um triângulo qualquer?
Seguindo a mesma perspectiva das aulas 03 e 04, serão
feitas considerações sobre alguns conceitos geométricos a partir de três
aspectos gerais:
-
As orientações didáticas que
o professor de matemática deve se apoiar no estudo de conceitos geométricos com
base nos PCN (1998) e em estudos mais recentes.
As orientações didáticas que
o professor de matemática deve se apoiar no estudo de conceitos geométricos com
base nos PCN (1998) e em estudos mais recentes.
-
Os fundamentos teóricos que dão
suporte ao ensino-aprendizagem de conceitos da geometria plana e da geometria espacial.
-
Análise de situações-problema que
permitem a compreensão significativa de conceitos geométricos.
Destacamos que no texto dessa aula eventualmente
aparecerá o termo Geometria que se refere ao Bloco de Conteúdos Espaço
e Forma.
Desejamos a você um proveitoso trabalho!
 |
SAIBA MAIS
Considerando que você já fez o download
dos PCN de matemática (1998) para as séries finais do ensino fundamental desde
a aula 03, leia em detalhes outras
orientações dos PCN sobre o bloco de conteúdos Espaço e Forma.
1. OS PCN (1998) E O BLOCO DE CONTEÚDOS ESPAÇO E FORMA.
DESENVOLVENDO O PENSAMENTO GEOMÉTRICO.
Você já observou atentamente o ambiente em que vive? Reflita sobre
as perguntas a seguir.
Ao ler esse
texto onde você está?
Em seu quarto? Numa biblioteca? Na sala de estar de sua residência?
Num banco de uma praça?
Quais são as formas predominantes nos objetos que você
observa à sua frente? Quais são as formas mais comuns nos edifícios? Como é a
fachada de sua residência?
Olhando uma fotografia qual a forma geométrica que mais
se aproxima da copa de uma árvore? Qual a forma geométrica de uma folha de
caderno? E qual o formato de um livro?
A qual figura geométrica você associa a forma de uma moeda de um
real e de uma moeda de cinqüenta centavos?
Quais figuras podem ser identificadas numa rua quando a olhamos até
onde a vista alcança?
O formato da lua cheia é próximo de qual forma geométrica? Os pingos
da chuva caem sob qual ângulo?
ATIVIDADE.
Em termos de
formas geométricas o que você identifica na foto abaixo?
 |
Foto extraída do endereço: http://www.boraceia.sp.gov.br/detalhe_noticia.php?id=470
Selecione três
livros didáticos de matemática do 6º ano do ensino fundamental. Verifique como
e onde é feita a abordagem inicial
da geometria (Espaço e Forma). Verifique
também as páginas onde se localiza o capítulo do livro que apresenta o conceito
de polígono. |
Em livro que trata da história da matemática Eves (1994)
afirma que os registros que deram origem a geometria ocorreram no Egito antigo.
Qual figura você
percebe no meio-fio (à direita e à esquerda) da rua? E na copa da árvore que
está à direita da rua?
Qual figura geométrica pode ser associada ao poste à direita? E no
muro da primeira residência à direita?
Damos algumas pistas para identificação de alguns objetos
geométricos na foto mostrada acima:
Pesquise outras imagens de ambientes que
envolvem a visualização de figuras geométricas.
|
Após comparar suas observações com aquelas que aparecem
destacadas na figura anterior, vamos refletir sobre algumas considerações dos
PCN (1998, p.51) referentes ao do bloco de conteúdos Espaço e Forma. As três
considerações a seguir levam em conta orientações gerais para desenvolver
habilidades no trabalho em sala de aula:
 |
SAIBA MAIS
Aprofunde sua percepção sobre a relação existente entre as
formas da natureza e do ambiente em que vivemos. Pesquise em livros didáticos a
ocorrência de figuras que aparecem nesse contexto.
|
SAIBA MAIS
Pesquise o significado dos termos Isometria e Homotetia.
No que se refere a exploração de conceitos geométricos o
PCN (1998, p. 51) apresenta as seguintes considerações:
Você percebeu que a atividade anterior (que utiliza uma
foto para identificar formas geométricas) contempla algumas das considerações
dos PCN (1998) destacadas anteriormente?
Agora, vamos refletir sobre o que diz os PCN (1998) em
termos de orientação didática para o estudo do espaço e das formas em sala de
aula.
O documento orienta que o professor de matemática deve
selecionar atividades,
... a partir de
objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e
artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a
Matemática e outras áreas do conhecimento (PCN, 1998, p. 52).
Para ilustrar
essa orientação dos PCN (1998) observe a seguir algumas fotos.
Inicialmente olhe atentamente uma foto aérea da Praça do
Marco Zero em Recife-PE.
SAIBA MAIS
Na Internet você pode acessar vários vídeos que tratam da geometria
(em duas e em três dimensões). Sugerimos visitar o endereço
www.dominiopublicogov
.br e acessar os vídeos da série Mão na Forma. Programa 1 – Os sólidos de Platão.
Programa 2 – O barato de Pitágoras.
Programa 4 – 3, 4, 5 e o Pentágono.
Programa 3 – Quadrado, cubo e cia.
Programa 5 – Nas
malhas da Geometria.
Programa 6 – A espiral e as proporções áureas. Programa
7 – Diálogo Geométrico.
Foto aérea da praça do Marco Zero, obtida no
endereço http://www.copa2014.gov.br/noticia/
- Quais são as
formas geométricas que você identifica na foto área acima?
- Você consegue
perceber algum edifício com a forma de um cilindro?
E na foto do marco
zero a seguir quais formas geométricas você identifica?
 |
Foto do Marco Zero, obtida no endereço
ATIVIDADE. Observe a seguir a foto de uma estrela-do-mar. Se
ligarmos os extremos (pontas) da estrela-do-mar que figura geométrica é
formada?
SAIBA MAIS
Nas referências
bibliográficas desta aula você encontra um endereço na Internet para fazer o
download dos vídeos da série Mão na forma.
O Portal Domínio Público é a maior
biblioteca virtual do Brasil. Lançado em 2004, o portal oferece acesso de graça
a obras literárias, artísticas e científicas (na forma de textos, sons, imagens
e vídeos), já em domínio público ou que tenham a sua divulgação autorizada.
Foto extraída do endereço http://www.baixaki.com.br/papel-de-parede/1731-
estrela-do-mar.html
Como é
possível explorar didaticamente a foto acima?
Sugerimos a pergunta: Se os pontos nos extremos da estrela-do-mar
forem destacados e depois ligamos esses pontos obtêm-se que figura?
O nome da figura a ser obtida depende do número de lados? Veja a
foto a seguir.
A figura
representada acima é um pentágono porque apresenta cinco lados.
Até o momento desta aula, destacamos, algumas
orientações dos PCN (1998) sobre o bloco de conteúdos Espaço e Forma em relação
ao planejamento de aulas pelo professor de matemática.
Apresentamos a seguir duas perguntas para você refletir sobre
atividades que abordam conceitos do bloco de conteúdos Espaço e Forma.
|
SAIBA MAIS
Sugerimos a leitura do livro paradidático GEOMETRIA, de Luiz Márcio
Imenes e Marcelo Lelis da Editora Ática.
1.
Para explorar as propriedades das
figuras planas é coerente iniciar a partir de um contexto bidimensional ou
tridimensional? Opine sobre essa pergunta.
2. As formas planas
existem isoladas ou associadas a objetos tridimensionais?
Nesse sentido,
observe as situações a seguir.
Situação 1. As
figuras abaixo são respectivamente representações de um
cubo (figura tridimensional) à esquerda e de um quadrado (a face do cubo -
bidimensional) à direita.
Você lembra de algum objeto do dia-a-dia que se associa
com as formas acima? Relacione pelo menos dois desses objetos.
Situação 2. As três figuras abaixo representam
respectivamente um paralelepípedo (figura tridimensional) à esquerda, um
quadrado (a face do paralelepípedo – figura bidimensional) no meio e um
retângulo (a face lateral do paralelepípedo – figura tridimensional) à direita.
Lembre de algum objeto que é utilizado no dia-a-dia e
que pode ser associado a cada uma das formas acima. Relacione três desses objetos.
Situação 3. As duas figuras desenhadas abaixo
representam respectivamente um cilindro à esquerda (figura tridimensional), e
uma circunferência à direita (a face do cilindro - bidimensional).
Você lembra de algum objeto que é utilizado no dia-a-dia
e que tem associação com as formas acima? Relacione dois desses objetos.
Passamos agora a ilustrar o uso das formas geométricas
planas e espaciais nas artes plásticas. Nesse sentido, destacamos o quadro
abaixo denominado Calmaria II de Tarsila do Amaral.
SAIBA MAIS
Faça uma pesquisa na internet,
visitando sites de museus. Verifique que várias obras de artistas famosos abordam as formas geométricas
planas e espaciais.
 |
Para um trabalho em sala de aula envolvendo obras de
arte e matemática, orientamos o professor que faça uma pesquisa detalhada sobre
o autor da obra antes de apresentá-la aos alunos. O objetivo é mostrar que a
matemática, em especial a geometria, sempre foi usada por pintores
que viveram em diversos períodos da história da humanidade.
Óleo sobre tela
Calmaria II de Tarsila do Amaral (1929).
Quais formas geométricas planas e espaciais podem ser identificadas?
Descreva as características das formas planas e espaciais que você observa no
quadro acima.
ATIVIDADE. Agora, na foto a seguir quais são as formas geométricas
que podem ser identificadas?
Casas de L'Estaque de Georges Braque
Fotografia obtida no endereço
ATIVIDADE. Para continuar exercitando a habilidade de identificar as
formas geométricas observe a foto a seguir.
 |
Uma dica importante para o ensino de
conceitos e teoremas da geometria é apresentar ao aluno alguns aspectos da
história da matemática que
justificam a construção desses conhecimentos pelo próprio homem.
Igreja de São José, Tamandaré-PE. Foto:de Netário José
do Nascimento para o Cidadão Repórter – divulgação. Fotografia extraída do
endereço:
http://cidadao.dpnet.com.br/cidadao/viewtopic.php?f=34&t=1557&start=15.
II. ATIVIDADES QUE ABORDAM POLÍGONOS COM O FOCO EM
TRIÂNGULO.
Inicialmente vamos apresentar um conceito de polígono.
Destacamos que Polígono é toda figura plana fechada sendo formada por segmentos
de reta consecutivos.
Os polígonos são classificados quanto ao número de lados
e pela característica da amplitude de seus ângulos internos.
Para conhecer mais sobre estratégias didáticas
referentes aos polígonos e como trabalhar esse tema em sala de aula sugerimos a
leitura do artigo intitulado POLÍGONOS DE PALITOS DE SORVETE de Luiz Márcio
Imenes, que se encontra disponível na Internet, no endereço seguinte
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_iicap3.pdf .
Reflita agora sobre a
seguinte questão: Existe alguma condição para um triângulo existir?
ATIVIDADE.
Considere quatro segmentos de reta AB, CD, EF e GH, representados abaixo.
Verifique se é possível formar um triângulo usando três dos quatro
segmentos acima?
Para responder à pergunta anterior use uma régua centimetrada e meça
o comprimento dos segmentos acima. Depois de medir o comprimento dos
quatro segmentos
verifique se é possível formar um triângulo:
Você conhece a
condição para existência de um triângulo?
Como regra geral podemos afirmar que a soma dos
comprimentos de dois lados de um triângulo deve ser maior que o comprimento do
terceiro lado?
Resgatando a atividade da aula 4 que envolvia três
cidades A, B e C ao ligar os pontos resultava num triângulo. Qual o tipo de
triângulo resultante com base no comprimento dos lados?
Quais critérios são usados no estudo das figuras planas
para classificar e diferenciar triângulos?
Em geral, os critérios mais comuns são a amplitude
(abertura) dos ângulos e o comprimento dos lados do triângulo.
Ao estudar os triângulos, em geral, considera-se pelo
menos dois tipos de classificação: quanto aos lados e quanto aos
ângulos.
Quanto aos lados: Eqüilátero
(apresenta os três lados com a mesma medida
de comprimento); Isósceles (apresenta dois lados com a mesma
medida de comprimento) e Escaleno (apresenta os três lados com medidas
de comprimento diferentes).
Atividade: Verifique com uma régua centimetrada qual a
medida do comprimento dos lados de cada um dos triângulos na figura acima.
Quanto aos ângulos os triângulos são denominados de:
1. Triângulo Retângulo
(apresenta um dos três ângulos internos medindo noventa graus); 2. Triângulo
Acutângulo (apresenta um dos três ângulos medindo menos que noventa graus);
3. Triângulo Obtusângulo (apresenta um dos três ângulos medindo mais que
noventa graus).
|
Na filosofia, Pitágoras é um
personagem muito importante. Suas
contribuições à matemática devem ser destacadas pelo professor.
 |
Para obter mais informações pesquise sobre a vida de
Pitágoras pesquise no endereço http://www.rpm.org.br/5 e/docs/mc9.pdf.
Atividade: Utilize um transferidor para medir a
amplitude dos ângulos destacados em cinza nos triângulos acima. O que você
concluiu?
Considerando
que os triângulos acima foram classificados quanto aos ângulos é necessário
destacar esse conceito que é fundamental na geometria. Os tipos de ângulos de
acordo com a sua amplitude são apresentados a
seguir:.
Considerando que o foco é o triângulo, você lembra
quanto mede a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer? 90º? 120º?
145º?
O teorema a
seguir é válido para qualquer triângulo:
A soma dos ângulos
internos de um triângulo mede
180º.
Mas, como demonstrar de forma empírica que a soma dos
ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. Considere o roteiro a
seguir:
Etapa 1. Considere uma folha de papel retangular;
Desenhar no papel um triângulo qualquer usando lápis ou caneta; Recorte o
triângulo com uma tesoura. Marque um ponto qualquer no interior do triângulo;
Ligue esse ponto aos lados do triângulo próximo ao ponto médio dos lados.
Etapa 2. Faça o recorte segundo os segmentos que partem
do ponto no interior do triângulo.
Etapa 3. Unir os ângulos segundo a figura a seguir
mostrando que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo qualquer é igual a 180º.
 |
A figura a seguir mostra as etapas descritas.
Figura 1. Demonstração empírica de que a soma dos
ângulos internos de um triângulo é iguala a 180º.
Outra
estratégia de mostrar esse teorema é construir um triângulo de papel e dobrá-lo
conforme é mostrado na figura abaixo, o triângulo ABC.
Observando a figura anterior, os três ângulos internos
do triângulo, quando adjacentes (vizinhos), formam um ângulo que mede 180º
(raso), isto é,
a + b + c = 180º.
Para
expressar que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer mede 180º,
de outra forma, usa-se como referência os ângulos originados pelos vértices A,
B e C do triângulo representado acima. Portanto,
O TEOREMA DE
PITÁGORAS.
Para abordar o Teorema de Pitágoras, lembramos que neste
semestre você certamente está estudando também a disciplina História da
matemática. Recorremos a Eves (1994), quando afirma que Pitágoras de Samos
viveu na ilha de Samos na Gécia antiga em aproximadamente em 570 a.C.
 |
Busto de Pitágoras de Samos in the Museu
Capitólio em Roma.
http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
Em relação ao Teorema de Pitágoras, destaca-se nos PCN
(1998) a orientação seguinte,
 |
O teorema de Pitágoras associa comprimentos e áreas através da
relação algébrica, a² + b² = c².
Considerando o triângulo retângulo ABC representado a seguir, a
relação anterior é traduzida da seguinte forma:
O quadrado construído sobre o lado AB (denominado
HIPOTENUSA) possui a área equivalente à soma das
áreas dos quadrados construídos sobre os lados AC e CB (denominados de
CATETOS).
Num
triângulo retângulo, o ângulo cuja origem é o vértice C mede 90º (é um ângulo
reto).
Para interpretar essa relação usando a representação algébrica
você deve seguir os procedimentos descritos a seguir.
1.
Construir um triângulo retângulo
com medidas AC = 3cm, CB = 4cm e AB = 5cm.
2.
Construir quadrados sobre cada um
dos lados do triângulo. A medida do lado de cada quadrado deve ser igual à
medida do lado correspondente do triângulo ABC.
3.
Calcular a medida da área de cada
quadrado ABFG, ACDE e BCIH. Para o quadrado ACDE, sabe-se que AC = 3cm. Logo, a
área é representada pelo produto 3cm x 3cm = 9cm². Para o quadrado CBHI, o lado
CB = 4cm. Portanto, 4cm x 4cm = 16cm². Para o quadrado ABFG a área é obtida
pelo produto 5cm x 5cm = 25 cm².
4.
Verificar que a soma das medidas
das medidas das áreas dos quadrados ACDE e BCIH é igual à medida da área do
quadrado ABGF.
Calculando a área do quadrado ACDE: AACDE =
3cm x 3cm = 9cm². O quadrado CBHI, possui área, 4cm x
4cm = 16cm². Já o quadrado ABFG tem a área obtida pelo produto 5cm x 5cm = 25 cm².
Logo, Área de ACDE + Área de CBHI = Área de ABFG.
Então, 9cm² + 16cm² = 25 cm².
O que significam as letras a, b e c? E as potências a², b² e c²?
As letras a, b e c representam os comprimentos dos lados do
triângulo.
As potências a², b² e c² por sua vez representam as
medidas das áreas dos quadrados construídos sobre os lados a, b e c do
triângulo.
O TEOREMA DE PITÁGORAS E FIGURAS SEMELHANTES.
Para
ampliar a compreensão e a interpretação do significado do teorema de Pitágoras,
consideremos triângulos eqüiláteros construídos sobre os lados do triângulo
pitagórico de acordo com a figura a seguir, onde AC = 3cm, CB = 4cm e AB = 5cm.
ATIVIDADE PARA INVESTIGAR.
REFLITA SOBRE A PERGUNTA: É verdade que a área do
triângulo eqüilátero de lado 5cm equivale à soma das áreas dos triângulos
eqüiláteros de lados 3cm e 4 cm?
OUTRA ATIVIDADE PARA INVESTIGAR. Se semi-círculos forem
construídos sobre os lados de um triângulo retângulo podemos fazer uma nova
interpretação
do teorema de Pitágoras e dessa forma fica ampliado para constatar equivalência
entre as áreas de figuras semelhantes?
Na figura acima é fácil comprovar que a área do
semi-círculo com diâmetro AB=5cm e raio=2,5cm equivale à soma das áreas dos
semi-círculos de diâmetro AC=3cm e raio=1,5 cm e CB=4cm e raio=2cm. Como esse
teorema pode ser enunciado?
Na Internet você pode acessar o artigo Mania de
Pitágoras, da revista do professor de Matemática, nº 02, página 14.
A TRIDIMENSÃO.
REFLETINDO SOBRE AS FIGURAS TRIDIMENSIONAIS.
No estudo do bloco Espaço e Forma existem várias
orientações para explorar as figuras espaciais (em três dimensões). E nesse
sentido, exploramos inicialmente as figuras denominadas de Poliedro.
Poliedro por definição é toda figura geométrica que possui várias
faces. Esses poliedros possuem como característica as faces regulares.
Lembramos que em
termos de características das figuras geométricas em três dimensões
destacam-se: os vértices, as faces e as arestas.
No estudo dos poliedros destacam-se os de Platão. São
eles: o Tetraedro, o Hexaedro, o Octaedro, o Dodecaedro e o Icosaedro.
|
Pesquise sobre Platão. Em que país ele viveu?
|
Octaedro
 |
Oito (08)
|
Seis (06)
|
Doze (12)
|
|
Dodecaedro
 |
Doze (12)
|
Vinte (20)
|
Trinta e quatro (34)
|
|
Icosaedro
 |
Vinte (20)
|
Doze (12)
|
Trinta e quatro (34)
|
Uma importante relação no estudo das figuras em três
dimensões especialmente para os poliedros convexos é a Relação de Euler.
As características de um poliedro convexo que se
destacam na Relação de Euler são o número de arestas (A), número de faces (F) e
o número de vértices (V). A relação de Euler é escrita assim,
Pesquise sobre
Leonard Euler. Em que país ele nasceu?
V + F = A + 2
A planificação de um poliedro.
Consiste em representar todas as faces do poliedro arrumadas de
acordo com uma seqüência de figuras num plano.
Observe abaixo
um exemplo de planificação de um poliedro.
 |
 |
||
Tetraedro Planificação do Tetraedro
ATIVIDADE. Na figura abaixo, um tronco de um tetraedro,
são destacados os vértices (pelos números 1; 2; 3; 4; 5 e 6), as faces
triangulares (representadas pelos números 126; 345), as faces em forma de
quadriláteros (representadas pelos números 1456; 2356 e 1234) e as arestas
(representadas pelos números 12; 26; 61; 43; 35; 54; 14; 23; 65;
(quadriláteros).
Para verificar se a Relação de Euler é satisfeita para a
figura acima é necessário identificar o número de Vértices (V) = 6, o número de
Arestas (A) = 9 e o número de Faces (F) = 5.
Substituindo o
número de vértices, arestas e faces na Relação de Euler,
V + F = A + 2, teremos 6 + 5 = 9 + 2. Considerando a
igualdade 11 = 11, conclui-se que a Relação de Euler é satisfeita.
RESOLVER AS
ATIVIDADES A SEGUIR:
1.
Um poliedro convexo possui como
características, A = 15 e V = 10. Admitindo que esse poliedro pode ser existir
quantas faces terá? Como esse poliedro pode ser denominado segundo o número de
faces? Verifique se a figura desenhada abaixo corresponde a esse poliedro?
2.
Na figura abaixo identifique o
número de vértices, arestas e faces. A figura é convexa. Verifique se a Relação
de Euler é satisfeita.
 |
RECORRENDO NOVAMENTE AO GEOPLANO.
Na aula 04 foi apresentado o geoplano,
sendo destacado seu potencial como material didático para uso nas aulas de
matemática do ensino fundamental com o objetivo de favorecer o ensino de
conceitos do bloco Grandezas e Medidas.
Resgatamos novamente esse material didático para refletir sobre o
estudo de
conceitos do Bloco Espaço e Forma tais como as figuras
planas. No geoplano a representação de figuras planas é feita com artilhos
(ligas de borracha coloridas).
ATIVIDADE 1: Observe as três figuras a seguir
representadas num geoplano 5x5.
Qual o número de lados de cada figura? Qual a medida dos ângulos de
cada figura?
ATIVIDADE 2. Represente no Geoplano ou numa malha
quadriculada o teorema de Pitágoras.
ATIVIDADE 3. Num Geoplano construir um triângulo
retângulo e depois construir figuras semelhantes sobre esses lados. Um
pentágono regular. Calcular a área de cada um dos pentágonos e verificar se o
teorema é satisfeito.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS QUE DÃO SUPORTE AO ENSINO DAS
FIGURAS PLANAS. A TEORIA DE VAN HIELE, PARA O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO.
Para o estudo e aprendizagem da Geometria um fundamento
adequado é a teoria que trata da evolução do pensamento geométrico.
Essa teoria foi elaborada pelo casal Van Hiele, Dina e
Pierre Van Hiele Geldorf (holandeses) denominada Teoria do desenvolvimento do
Pensamento Geométrico mais conhecida como Teoria de van Hiele.
Segundo essa teoria o pensamento geométrico de um
indivíduo evolui segundo níveis de raciocínio.
A tabela a seguir mostra os níveis de pensamento
geométrico da Teoria de van Hiele, sua denominação, suas características e um
exemplo de atividade.
|
NÍVEL
|
DENOMINAÇÃO
|
CARACTERÍSTICAS
|
EXEMPLO DE
ATIVIDADE
|
|
1
|
Visualização. Reconhecimento
|
Os alunos
compreendem as figuras globalmente, isto é, as
figuras são entendidas pela sua aparência;
|
Classificação de recortes de figuras de quadriláteros recortadas em quadrados, paralelogramos,
retângulos, losangos e trapézios.
|
|
2
|
Análise. Nomenclatura.
|
Os alunos entendem as figuras
como o conjunto das suas propriedades; resolvem problemas a
partir das
propriedades das figuras.
|
Descrição de um quadrado a partir de suas
propriedades: Tem 4 lados com o mesmo comprirmento; tem 4 ângulos congruentes
e retos; os lados são
paralelos e opostos.
|
|
3
|
Ordenação. Propriedades
|
Os alunos ordenam logicamente as
propriedades das figuras;
|
Verificar num
quadrilátero, que os lados opostos são paralelos, então necessariamente os
ângulos opostos são iguais.
Um quadrado é um retângulo porque possui todas as
propriedades de um
retângulo.
|
|
4
|
Dedução.
|
Os alunos entendem a Geometria como um sistema dedutivo;
|
Demonstração de propriedades de
triângulos e quadriláteros usando a congruência de
triângulos.
|
|
5
|
Rigor. Demonstração.
|
Os alunos estudam diversos sistemas axiomáticos para a
Geometria.
|
Estudo das
geometrias não
euclidianas.
|
UTILIZANDO MOSAICOS PARA EXPLORAR AS PROPRIEDADES DAS
FIGURAS PLANAS.
Refletindo sobre estratégias para identificar as
propriedades das figuras planas destacamos o recurso denominado mosaico. Um
mosaico é construído a partir de um elemento gerador. Esse elemento se
caracteriza como uma figura plana e pode ser obtida usando régua e compasso.
Com base na teoria de Van Hiele, o trabalho com Mosaicos
é possível explorar a visualização, o reconhecimento dos polígonos que compõem
o mosaico, a classificação dos mesmos, as propriedades que cada figura possui,
o conceito de polígonos regulares, o cálculo dos ângulos internos de triângulos
eqüiláteros, hexágonos e losangos; cálculo da área das figuras citadas (como o
trapézio e do losango e também a dedução das fórmulas de suas áreas), e
semelhança de triângulos.
Definição da palavra mosaico segundo o Dicionário
Michaelis. Acesso à Internet no endereço http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php
Mosaico - sm (ital mosaico) 1. Desenho feito com
embutidos de pedras de várias cores. 2. Pavimento feito de ladrilhos
variegados. 3 Arte de fazer obras desse gênero. 4. Qualquer obra do artefato
composto de partes visivelmente distintas.
ATIVIDADE
1. Considerando o mosaico represento abaixo, é importante levantar alguns questionamentos
para possíveis investigações geométricas.
1.
Qual o nome da figura geradora do mosaico?
2. Quais são as
figuras que compõem o mosaico?
3. Como reconhecer
essas formas?
4. É possível
classificá-las quando aos lados e ângulos?
5. Utilizando
o transferidor meça os ângulos internos das figuras que formam o mosaico.
ATIVIDADE
2. Identifique a figura geradora do mosaico representado abaixo. Ela é regular
ou irregular? Qual a medida do ângulo da figura geradora do mosaico?
ATIVIDADE
3. Qual a figura que gera o mosaico representado abaixo? Ela é regular ou
irregular? Qual a medida do ângulo da figura geradora do mosaico?
ATIVIDADE
4. Qual a figura que gera o mosaico representado abaixo? Essa figura é regular
ou irregular? Quanto mede o ângulo interno da figura geradora do mosaico?
EXPLORANDO O TANGRAM EM ATIVIDADES ENVOLVENDO AS FORMAS
PLANAS.
O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. Conforme
a figura abaixo, são identificadas sete (7) peças: um quadrado (Q), cinco
triângulos (T) e um paralelogramo (P). Observe que os cinco triângulos são
classificados em grande (g), médio (m) e pequenos (p).
 |
A tabela a seguir mostra as características dos lados e ângulos das
figuras do Tangram.
|
Figura
|
Característica das medidas dos
comprimentos dos lados
da figura.
|
Amplitude dos ângulos internos
das
figuras.
|
|
Triângulo pequeno
|
|
|
|
Triângulo médio
|
|
|
|
Triângulo grande
|
|
|
|
Quadrado
|
|
|
|
Paralelogramo
|
|
|
Após preencher a
tabela acima responda:
- Quais conceitos
podem ser explicitados na atividade com o Tangram?
-
Quais são os Blocos de conteúdos
segundo os PCN (1998) que podemos associar com os conceitos utilizados para
resolver a atividade?
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA. As razões
trigonométricas no triângulo retângulo.
Segundo os PCN (1998), o ensino da trigonometria deve
ser encaminhado na última série do ensino fundamental. As definições básicas
são obtidas a partir de razões entre as medidas dos comprimentos dos lados de
um triângulo retângulo.
Consideremos um triângulo retângulo com os vértices A, B e C,
representado abaixo, e as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo ABC,
AC = 3cm; CB = 4cm e AB =
5cm.
 |
Na figura acima os ângulos CAB e ABC são agudos e o ângulo ACB é
reto cuja medida é igual a 90º.
Qual a medida
dos ângulos CAB e ABC?
A primeira razão trigonométrica que pode ser obtida de um triângulo
retângulo é denominada Seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo.
O Seno é um
número e representa-se em geral pela abreviação sen. É definido
como a razão entre a medida do comprimento do cateto oposto a um
ângulo escolhido e a medida do comprimento da hipotenusa do triângulo
retângulo.
sen do ângulo
CAB =
medida do comprimento do cateto oposto ao
ângulo CAB
medida do comprimento da hipotenusa
A segunda razão é denominada Cosseno de um ângulo agudo
do triângulo retângulo. É representada por cos e é definida pela razão entre a
medida do comprimento do cateto adjacente a um ângulo escolhido e a medida do
comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo.
cos do ângulo
CAB =
medida
do comprimento do cateto adjacente ao ângulo CAB
medida do comprimento hipotenusa
A terceira razão trigonométrica é denominada Tangente de
um ângulo agudo. Em geral é representada pela abreviação tg e é obtida pela
razão entre a medida do comprimento do cateto oposto a um ângulo escolhido e a
medida do comprimento do cateto adjacente a esse ângulo do triângulo retângulo.
tg do ângulo CAB =
medida
do comprimento do cateto oposto ao ângulo CAB medida do comprimento do cateto adjacente ao ângulo CAB
Para ilustrar a representação das razões sen, cos e tg de um ângulo
agudo do triângulo ABC acima, consideremos o ângulo CAB que mede 60º.
A razão sen do
ângulo CAB é representada pela razão
A razão cos do
ângulo CAB é representada pela razão
CA =
AB
CB =
AB
3cm = 0,6
5cm
4cm = 0,8
5cm
A razão tg do
ângulo CAB é representada pela razão
AC =
AB
3cm = 0,75
4cm
Alertamos que existem situações-problema onde não é
possível aplicar o teorema de Pitágoras. Portanto, é necessário visualizar o
triângulo retângulo na situação-problema e a partir dessa identificação aplicar
as razões sen, cos e tg de um ângulo num triângulo retângulo.
Para aplicar os conceitos de seno,
cosseno e tangente, você aluno, deve resolver as atividades a seguir.
EXERCITANDO.
ATIVIDADE 1. No triângulo ACB, retângulo em C, com os
vértices A, B e C, representado abaixo, e as medidas dos comprimentos dos lados
do triângulo ABC, AC = 3cm; CB = 4cm e AB = 5cm, calcule sen, cos e tg do
ângulo ABC.
|
ATIVIDADE 2. Um retângulo possui os lados com medidas
9cm e 6cm. Quanto mede o comprimento da diagonal desse retângulo?
ATIVIDADE
3. O quadrado ABCD representado pela figura abaixo possui o lado medindo 5cm.
Logo, AB = BC = CD = DE = 5cm. Os ângulos CDB e DBC possuem amplitude iguala a
45º.
Quanto mede o comprimento da diagonal BD desse quadrado?
Após calcular a medida do comprimento da diagonal do
quadrado considere o triângulo formado por dois lados adjacentes do quadrado e
a hipotenusa e calcule o valor do sen, cos e tg do ângulo de 45º.
ATIVIDADE 4. Considerando as atividades 2 e 3
anteriores, relacione quais conceitos e teoremas foram mobilizados para a
resolução plena de cada uma delas.
As atividades a seguir procuram relacionar o pensamento
algébrico com o pensamento geométrico.
ATIVIDADE
5. Com base na resolução de desafios que envolvem palitos de fósforo é possível
encontrar uma regra geral a partir das características da figura geradora do
mesmo. Por exemplo, usando três palitos de fósforo obtém- se um triângulo
eqüilátero. Com quantos palitos será formada uma seqüência com 10 triângulos do
mesmo tipo?
ATIVIDADE 6. Utilizando um quadrado quantos palitos são
necessários para formar uma seqüência com 10 figuras?
 |
ATIVIDADE 7. Verifique se a relação que fornece a quantidade de
palitos é:
NP + (NP – 1)
x (F – 1) = TP.
Onde:
NP representa o nº de palitos da figura geradora,
NP – 1 representa o nº de palitos da figura geradora – 1,
F – 1 representa o nº de figuras a obter – 1,
TP representa o nº de palitos que serão utilizados.
ATIVIDADE 8. Pesquise a quantidade de palitos
necessários para construir uma seqüência com 10 pentágonos (o pentágono é a
figura geradora da seqüência).
ATIVIDADE 9. Considere a figura regular Hexágono. Para
construir uma seqüência de 10 figuras iguais a um Hexágono Regular quantos
palitos serão utilizados?
ATIVIDADE 10. Considere a figura regular Heptágono. Para
construir uma seqüência de 10 figuras iguais a um Heptágono Regular quantos
palitos serão utilizados?
ATIVIDADE 11. Considere a figura regular Octógono. Para
construir uma seqüência de 10 figuras iguais a um Octógno Regular quantos
palitos serão utilizados?
RESUMO DA AULA.
Nesta aula, foram apresentados aspectos gerais do bloco
de conteúdos Espaço e Forma com base nos PCN (1998) e em alguns textos de
referência para o estudante de Licenciatura em Matemática que são considerados
fundamentais e que contribuem para ampliar o olhar sobre o ensino de conceitos
da geometria.
Os fundamentos apresentados no presente texto bem como
as sugestões para a sala de aula devem ser avaliadas pelo professor de
matemática como possíveis no trato dos conceitos destacados a partir das
situações propostas voltadas para os anos finais do ensino fundamental.
Os fundamentos estudados devem ser ampliados com novas
leituras sobre o ensino da geometria. Acreditamos que você percebe que o ensino
e a aprendizagem dos conceitos geométricos também se apóiam nas orientações dos
PCN (1998) e em teorias que auxiliam esse ensino numa perspectiva de superar as
dificuldades dos alunos das séries finais do ensino fundamental.
É fundamental promover atividades que abordem conceitos
geométricos e que possam consolidar uma linguagem própria e o desenvolvimento
de habilidades de observação das formas e do espaço em que vivemos.
Nesse sentido, a seleção de situações-problema diversas
possibilitará o desenvolvimento e conseqüente evolução do pensamento geométrico
dos alunos das séries finais do ensino fundamental segundo os níveis de van
Hiele. O professor de matemática deve considerar que o trabalho com o bloco de
conteúdos Espaço e Forma favorece a articulação entre conceitos de outros
blocos de conteúdos, tais como dos Números e Operações, das Grandezas e suas
Medidas, Álgebra e Funções e Tratamento da Informação.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
DA PONTE, João Pedro e SERRAZINA, Maria de Lurdes. Didáctica
da Matemática do 1º ciclo. PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM
MATEMÁTICA PARA PROFESSORES DO 1º CICLO, Escola Superior de
Educação de Viseu, disponível no endereço http://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/tarefas/Teoria%20de%20van%20Hiele.pdf.
EVES, Howard, Episódios da história antiga da
matemática, Editora Scipione, 1994.
EVES, Howard. Introdução à
História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues, 2ª edição. Campinas/SP:
Editora da UNICAMP, 1997.
LACERDA JUNIOR, Glauco Leite. Utilização de materiais
sólidos para apredizagem da geometria, Relato de experiência, VI
EPBEM – Monteiro, PB, 09, 10 e 11 de novembro de 2010, disponível no endereço
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/RE-11042817.pdf.
IMENES, Luiz Màrcio, Polígonos de palitos de sorvete,
pág, 83 e 84, disponível no endereço http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_iicap3.pdf
IMENES, Luiz Màrcio, Artesanato e matemática, pág. 98
a 105, disponível no endereço http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_iicap3.pdf
KALEFF, Ana Maria, Tomando o ensino de geometria em nossas
mãos. SBEM, vol. , nº , 1993.
KALEFF, Ana Maria e REI, Dulce Monteiro. Varetas,
canudos, arestas e ... sólidos geométricos. pág, 122 a 126,
disponível no endereço http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_iicap3.pdf.
KALEFF, Ana Maria e REI, Dulce Monteiro. Varetas,
Canudos, Arestas e ... Sólidos Geométricos. Revista do Professor de
Matemática - RPM, nº 28, página 122 a 126, 1995.
FRANCHI, ANA, Considerações sobre a Teoria dos campos
conceituais, in Machado, Silvia Dais Alcântara Machado (Org.), Educação
Matemática: uma introdução, Educ, São Paulo, SP, 1999.
BRASIL, MEC/SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática,
5ª A 8ª séries, Brasília, 1998.
VAN DE WALLE, JOHN.A. Matemática no Ensino Fundamental: formação
de professores e aplicação em sala de aula. Tradução: Paulo Henrique
Colonese.
6. ed. Porto Alegre:
Artmed, 2009.
REFERÊNCIAS DA
INTERNET:
Para
o download de Vídeos da série Mão na Forma acessar o endereço: http://exatasnet.blogspot.com.br/2010/06/video-aulas-de-matematica-mao-na-forma.html Foto de Tarsila do Amaral, acesso
ao endereço na Internet em 22.02.12 http://www.rumocertoproducoes.com.br/plural/nacional/tarsila_do_amaral08.html
http://ava.ifpe.edu.br/ava/pluginfile.php/13831/mod_resource/content/1/TEXTO%20DA%20AULA%2006.pdf
Nenhum comentário:
Postar um comentário